Сначала проверьте

Если Telegram на Android висит на «Соединение…» или сообщения приходят только когда откроешь приложение, проверьте сначала: работает ли Telegram на другом устройстве в той же сети. Работает — значит, дело в настройках телефона. Ниже то, что встречается именно на Android. Названия пунктов немного отличаются у Samsung, Xiaomi, Huawei и «чистого» Android — ищите по смыслу или через поиск в настройках.

Причины и что делать

ПричинаКак проявляетсяГде исправить
Включён «Частный DNS» (Private DNS)Не работает Telegram и ещё пара приложений, браузер при этом открывает сайтыНастройки → Сеть и интернет → Частный DNS → «Автоматически» или «Отключено»
В Telegram остался нерабочий проксиВверху надпись «Подключение к прокси…»Telegram → Настройки → Данные и память → Прокси: выключите или замените на рабочий из списка
Ограничены фоновые данныеСообщения приходят только при открытом приложенииНастройки → Приложения → Telegram → Мобильные данные → разрешить фоновый режим; выключите «Экономию трафика» для Telegram
Оптимизация батареиУведомления с опозданием, звонки не приходят при выключенном экранеНастройки → Приложения → Telegram → Батарея → «Без ограничений». У Xiaomi — ещё «Автозапуск», у Huawei — «Запуск приложений» вручную
«Постоянная VPN» с блокировкой без VPNПосле удаления или отключения VPN-приложения интернет есть не у всех приложенийНастройки → Сеть и интернет → VPN → шестерёнка у профиля: выключите «Блокировать соединения без VPN»
Сбиты дата и времяНе подключается ни в одной сетиНастройки → Система → Дата и время → «Время сети»
Старая версия или забита памятьВылетает, не открывает ссылки tg://webproxyОбновите Telegram (последняя версия) и очистите кэш: Telegram → Настройки → Данные и память → Использование памяти

Huawei и прокси

Huawei и Honor без Google-сервисов. Telegram на них работает, но без Google-сервисов уведомления сильнее зависят от того, даёт ли система приложению работать в фоне, — поэтому особенно важно снять ограничения батареи и разрешить запуск в фоне. Ставьте Telegram из официального магазина или с telegram.org, а не из сторонних сборников APK.

Если Telegram не подключается ни на одном устройстве в этой сети, дело не в телефоне. Тогда поможет прокси — как добавить его на Android, в пошаговой инструкции. Похожий разбор для iPhone — здесь.

FAQ

Telegram работает на Wi-Fi, но не на мобильном интернете
Проверьте, не запрещены ли Telegram мобильные данные: Настройки → Приложения → Telegram → Мобильные данные. На некоторых прошивках это отдельный переключатель «Мобильная сеть» у приложения.
Удалятся ли переписки, если переустановить Telegram?
Обычные чаты — нет, они в облаке. Секретные чаты — да, они хранятся только на устройстве.
Уведомления Telegram приходят с опозданием
Почти всегда виновата оптимизация батареи или ограничение фоновых данных — см. соответствующие строки таблицы выше. На Xiaomi дополнительно включите «Автозапуск» для Telegram.
Telegram не работает с VPN на Android
Разобрано отдельно — <a href="/telegram-ne-rabotaet-s-vpn">«Telegram не работает с VPN»</a>.